高中物理：以三角形為背景 構造幾何關系的磁場問題

­　　類型一

­　　帶電粒子從三角形磁場的某一邊的中點垂直射入，運動到與另一邊相切，然后再離開磁場。設帶電粒子進入磁場的邊的邊長為L，此邊與和運動軌跡相切的邊的夾角為θ，則帶電粒子運動的半徑滿足方程。

­　　現對此關系試作簡單證明。如圖1所示，令邊長為L，是的中點，，。由幾何關系可知，由于，故有。

­　　下面來看看這一結論的應用：

­　　【例1】（2012高考題改編）圖中左邊有一對平行金屬板，兩板相距為d，電壓為U；兩板之間有勻強磁場，磁場應強度大小為B0，方向平行于板面并垂直于紙面朝里。圖中右邊有一邊長為a的正三角形區域EFG（EF邊與金屬板垂直），在此區域內及其邊界上也有勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面朝里。假設有一電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面，垂直于磁場的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板之間的區域，并經EF邊中點H射入磁場區域。已知這些離子到達磁場邊界EG后，從邊界EF穿出磁場，不計重力。求離子的質量。

­　　

­　　解析：在粒子進入正交的電磁場做勻速直線運動，設粒子的速度為v，電場的場強為E0，根據平衡條件得

­　　①

­　　②

­　　由①②化簡得

­　　③

­　　如圖3由幾何關系知

­　　④

­　　將④化簡得

­　　⑤

­　　在磁場中粒子所需向心力由洛倫茲力提供，根據牛頓第二定律得

­　　⑥

­　　聯立③⑥化簡得

­　　。

­　　【例2】如圖4所示，在一底邊長為2L，θ＝45°的等腰三角形區域內（O為底邊中點）有垂直紙面向外的勻強磁場。現有一質量為m、電量為q的帶正電粒子從靜止開始經過電勢差為U的電場加速后，從O點垂直于AB進入磁場，不計重力與空氣阻力的影響。當磁感應強度B為多少時，粒子能以最大的圓周半徑偏轉后打到OA板？

­　　解析：粒子經電場加速射入磁場時的速度為v

­　　qU＝mv2 ①

­　　要使圓周半徑最大，則粒子的圓周軌跡應與AC邊相切，設圓周半徑為R。由圖5中幾何關系：

­　　R＋＝L ②

­　　在磁場中粒子由洛倫茲力提供向心力，則有

­　　qvB＝m③

­　　由①②③得聯立得

­　　B＝。

­　　類型二

­　　帶電粒子從三角形磁場中某一邊的端點射入，然后從這一邊的另一個端點離開磁場，設這條邊的邊長為L，入射方向與這一邊的夾角為，則帶電粒子運動的半徑滿足方程=Rsinθ。

­　　現對此關系試作簡單證明。如圖6所示，令邊長為L，是的中點，，。由幾何關系可知，=Rsinθ。

­　　下面來看看這一結論的應用：

­　　【例3】（2013高考題改編）如所示的平面直角坐標系xOy，在第Ⅰ象限內有平行于y軸的勻強電場，方向沿y軸正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc區域內有勻強磁場，方向垂直于xOy平面向里，正三角形邊長為L，且ab邊與y軸平行。一質量為m、電荷量為q的粒子，從y軸上的P（0，h）點，以大小為v0的速度沿x軸正方向射入電場，通過電場后從x軸上的a（2h，0）點進入第Ⅳ象限，又經過磁場從y軸上的某點進入第Ⅲ象限，且速度與y軸負方向成45°角，不計粒子所受的重力。求：abc區域內磁場的磁感應強度B的最小值。

­　　解析：帶電粒子在電場中從P到a的過程中做類平拋運動。

­　　水平方向上：2h＝v0t①

­　　豎直方向上：h＝at2 ②

­　　由牛頓第二定律得a＝③

­　　粒子到達a點時沿y軸負方向的分速度為

­　　vy＝at④

­　　由①③④式得vy＝v0 ⑤

­　　而vx＝v0 ⑥

­　　粒子到達a點的速度

­　　va＝＝v0 ⑦

­　　粒子進入磁場后做勻速圓周運動，有qvB＝m⑧

­　　由此得R＝⑨

­　　從上式看出，R與B成反比，當R最大時，B最小。

­　　由圖8可知，當粒子從b點射出磁場時，R最大。

­　　由幾何關系得⑩

­　　將①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得B的最小值為Bmin＝。